O número Pi

Nenhum número monopolizou tanto a atenção e a imaginação das pessoas, ao longo das épocas, como a razão entre o perímetro da circunferência e o seu raio.

Pi, ou p , de valor aproximado 3,1415926535…, não tem fim.

No nosso mundo de instrumentos precisos de alta tecnologia, onde garantimos que a perfeição está ao nosso alcance, é difícil admitir que não consigamos resolver um problema tão simples como o de dividir o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.

Mas a magia de Pi não se confina ao círculo ou à medição de arcos e curvas. Se, ao princípio, parece que é o círculo que define o Pi, talvez no fundo seja Pi que define o círculo. Sem conhecermos Pi podemos construir círculos e, no entanto, o Pi existe igualmente em todos os círculos. O Pi ressoa em nós e à nossa volta. Encontra-se na solução de questões de cálculo de probabilidades e de estatística, faz parte do modo como interpretamos os fenómenos naturais, tão diversificados como a estrutura do átomo ou o movimento das estrelas.

O Pi intrigou os matemáticos durante quase quatro mil anos, originando mais interesse, consumindo, relativamente a qualquer outro número, mais energia intelectual e enchendo mais cestos de papéis com teorias refutadas.

A procura do Pi pela humanidade está cheia de histórias…

A origem do Pi

p , a décima letra do alfabeto grego, é a letra grega mais conhecida e utilizada. No entanto, os próprios gregos não utilizavam este símbolo para representar a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro.

Este símbolo teve vários significados na Matemática: designou o perímetro de uma circunferência, representou o perímetro da rotação descrita pelo centro de gravidade de um corpo que perfaz uma revolução, significou a razão entre dois números, foi uitlizado para representar factoriais…

Mas a primeira utilização de um símbolo para representar a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro não foi através do símbolo p . Em 1689, J. Cristoph Sturm , no seu livro Mathesis enucleata , utilizou para isso a letra e .

Foi William Jones , só em 1706, que utilizou a letra grega p . Mas porque escolheu esta letra? O motivo era que a letra p, primeira letra da palavra grega perimetron (perímetro), correspondia à letra p no alfabeto grego.

Passados cerca de trinta anos da publicação de William Jones , Leonhard Euler , começou a utilizar este símbolo nos seus trabalhos. Foi através da influência de Euler que a utilização deste símbolo, do mesmo modo que o utilizamos hoje, se começou a generalizar.

História do Pi

Pitágoras , Euclides e muitos outros matemáticos gregos utilizaram frequentemente representações geométricas para o estudo das propriedades dos números racionais.

No entanto, a noção de número racional (inteiro ou fraccionário) era-lhes insuficiente e mostrou-lhes a existência de outros números não racionais.

A descoberta mais importante, atribuída a Pitágoras, foi a dos números não racionais, irracionais, feita com segmentos de recta incomensuráveis.

Um número nestas condições é o pi que representa a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência.

Este número representa-se por pi, letra grega equivalente ao P, pois vem da palavra grega «periphereia» que significa circunferência (periferia do círculo).

O número pi , quociente entre as medidas do comprimento de uma circunferência e do respectivo raio, despertou o interesse de muitos matemáticos.

Os gregos, de início, julgavam que essa razão era um número racional, embora, mais tarde, suspeitassem que não podia ser.

Durante muitos séculos não se suspeitou que o número pi fosse um número irracional! Tentou-se, em vão, descobrir um período para a sua dízima.

Entre outros, Euclides , Arquimedes , Apolonio e, já no século XVI, o matemático francês François Viète dedicaram-se ao calculo do desenvolvimento decimal de pi.

Só em 1768, Lambert provou que pi é um número irracional e que, portanto, a sua dízima é infinita, mas não periódica.

As civilizações antigas utilizavam várias aproximações p :

- os hebreus, cerca de 2000 a .C., consideravam pi = 3.

- os egípcios, cerca de 1650 a .C., consideravam pi = 3,16.

- os babilónios, cerca de 1600 a .C., consideravam pi = 3 + 1/8.

- os gregos, muito depois, consideravam pi = 3,14

Na Grécia antiga:

Arquimedes, cerca de 250 a .C., investigou o valor de pi, do qual se aproximou bastante.

Calculou valores aproximados de pi por defeito e por excesso, usando para isso polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência com 6, 12, 24, 48 e 96 lados. Revelando grande mestria de cálculo, ele concluiu que:

3 + 10/70 < pi < 3 + 10/71 , ou seja: 3,1410 < pi < 3,1428.

Ptolomeu , séc II d. C., considerou p = 3,14166

No Extremo Oriente:

Lui Hui, 263 d. C., descobriu, através de polígonos regulares inscritos e circunscritos ao círculo, que 3,1401 < pi < 3,1427.

Tsu Ch'ung Chil, séc.V, considerou pi = 3,1415924.

Bhaskara (Índia), cerca de 1150, considerou pi = 3927/1250.

Na Europa:

Leonard Fibonnaci, séc.XIII, considerou pi = 1440/458.1/2= 3,140676.

Viéte, séc XVI, calculou pi com 10 casas decimais

Euler, sécXVIII, considerou pi = 3,14159265...

Newton calculou pi com 15 casas decimais

Leibniz obteve a fórmula pi = 1- 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Mais tarde, com a ajuda de ordenadores, calculou-se o valor de pi com centenas de algarismos.

Actualmente já se publicou um livro com 400 páginas onde pi aparece com um milhão de casas decimais.

No Palácio das Descobertas, em Paris, encontra-se representado, em espiral, um valor aproximado de pi com 707 decimais, valor encontrado por Shanks em 1873.

Curiosidades do Pi

•  p é o número de vezes que o diâmetro do círculo caberá na sua circunferência .

•  O p aparece em inúmeras fórmulas nas mais diversas ciências .

•  Aqui estão as primeiras 100 casas décimais do p : 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

•  Mas o p não pode ser escrito apenas em notação decimal (base 10). Aqui está o p escrito em notação binária : 11.0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011

•  Na Grécia antiga o símbolo p era usado para denotar o número 80.

•  Não aparecem zeros nos primeiros 31 dígitos de p .

•  A fracção 22/7 é usada frequentemente como apróximação para o p .

•  A fracção que melhor se apróxima de p , embora mais difícil de decorar é 104348/33215.

•  Na Holanda, o matemático Ludolph Van Celen (1539-1610) determinou primeiro 20 e depois 35 casas décimais para o número p . Quando morreu, na sua lápide foi gravado o número com 35 casas decimais, e até hoje na Alemanha o número é chamado de Número de Ludolph.

•  Existe um perfume de nome p , que foi lançado este Outono.

•  Considerando as primeras 6.000.000.000 casas décimais do p temos que:

•  O algarismo 0 ocorre 599.963.005 vezes;

•  O algarismo 1 ocorre 600.033.260 vezes;

•  O algarismo 2 ocorre 599.999.169 vezes;

•  O algarismo 3 ocorre 600.000.243 vezes;

•  O algarismo 4 ocorre 599.957.439 vezes;

•  O algarismo 5 ocorre 600.017.176 vezes;

•  O algarismo 6 ocorre 600.016.588 vezes;

•  O algarismo 7 ocorre 600.009.044 vezes;

• O algarismo 8 ocorre 599.987.038 vezes;

•  O algarismo 9 ocorre 600.017.038 vezes